Verzinsung

Vorbemerkung" id="mw-headline" id="Vorbemerkung">Vorbemerkung ="mw-editsection-bracket">[Bearbeiten | /span>Quellcode bearbeiten]>

Die Verzinsung gliedert sich prinzipiell in die "einfache Verzinsung", bei der die aufgelaufenen und nicht ausgezahlten Beträge und der zu zahlende Zinsbetrag, z.B. Kredite, Anleihen oder Spareinlagen, nicht hinzugerechnet werden, und die Zinseszinsberechnung, bei der die nicht ausgezahlten Beträge auf den Sockelbetrag angerechnet und bei der weiteren Zinsberechnung miteinbezogen werden. Weiterhin kann nach der Zahl der Zinszeiträume (Zinsen) im Jahr zwischen Jahres- (Einmalzinsen) und Jahreszinsen (Mehrfachzinsen) sowie dem Spezialfall der kontinuierlichen Verzinsung unterschieden werden.

Der Standardfall ist die Jahresrendite: Das Eigenkapital wird einmal im Jahr, in der Regel am Ende des Jahres, verzinst. 2. Der Zinssatz nach der Zinslaufzeit wird als decursiv, der Vorabzinssatz als aufgelaufen beschrieben. Erfolgt innerhalb der Verzinsungsperiode eine Ein- oder Auszahlung auf ein Sparbuch, wird der Mischzinssatz in der Regel von Finanzgesellschaften verwendet.

Daher wird diese Zinsart auch für alle Kapitalanlagen mit einer Laufzeiten verwendet, die nicht einem Multiplikator der Zinslaufzeit entsprechen (z.B. 3,5 Jahre mit Jahreszins). Für das Eigenkapital nach n Jahren mit Jahreszins und Zinseszins gilt: Die Berechnungsformel kann geändert werden, um das Anfangskapital, den Zins oder die Dauer für ein gegebenes Abschlusskapital zu bestimmen:

Anders ausgedrückt: Um 1.100 von einem Bankkonto mit 5% p. a. Zinsen in 2 Jahren abzuheben, müßten derzeit 997,73 auf dieses Bankkonto einbezahlt werden, d.h. 1.100 in 2 Jahren sind also fast so viel wie heute.

Für Investitionen, die während des Jahres verzinst werden, werden die Zinsen mehrfach pro Jahr gutgeschrieben. Die Verzinsungsperiode liegt somit unter einem Jahr. Zum Beispiel, mit vierteljährlichen Zinsen, wäre m{displaystyle m} 4 (4 Viertel pro Jahr). Oft wird ein so genannter nominaler jährlicher Zinssatz (inom-Display-Stil also der Name des Unternehmens ) genannt. Die relativen periodischen Zinssätze sind dann: irel=inomm{math} } }}={\frac {i_{\mathrm {nom} }}{m}}.

Anschließend erfolgt die Verzinsung unterjährig wie oben erläutert, wobei der Zins nicht mehr pro Jahr, sondern pro Zinszeitraum ist. {\cdot]=K_{0}\cdot (1+[n\cdot m+k]\cdot i_{\mathrm {rel} })}. Es wird ein Vermögen von 1000 zu einem monatlichen Zins (m=12 {\displaystyle m=12}) mit einem nominalen jährlichen Zins von 6 Prozentpunkten investiert. Neben dem Relativ- und Nominalzinssatz kann der Zinseszinssatz ieff{\displaystyle i_{\mathrm {eff} }} bestimmt werden, bei dem ein einmaliger Jahreszins zum gleichen Zins das gleiche Resultat wie ein mehrfacher Jahreszins zum Relativzinssatz erbringt.

wie der nominale jährliche Zinssatz pro Jahr. als die Anzahl der Zinszeiträume pro Jahr und der Quotient der beiden Variablen inomm{displaystyle {\tfrac {i_{\mathrm {nom} }}{m}}, da der relative periodische Zinssatz irel{\displaystyle } {\mathrm {rel} } dann[1] ist: ieff=(1+inomm)m-1{\displaystyle i_{}{\mathrm {eff} }=\left(1+{\frac {i_{\mathrm {nom} }} {m} {m}} {m}} Wenn man die Konsole multipliziert und die höhere Potenz von inom{\displaystyle ist, kann man den effektiven Zinssatz gut abschätzen:

ieff?inom+(m2)m2m?inom=inom+12?m-1?inom{\displaystyle i_{{{\mathrm {eff} }_\\mathrm {nom} {\frac {m}{2}}{m^{2}}}}\cdot i_{{\mathrm {nom} }^{2}=i_{\mathrm {nom} }+{\frac {1}{2} { { {frac {m-}} 1 }{m}}\cdot ich bin {nom} ^{2}}. Damit kann der weitere Zinsertrag bei mehreren unterjährigen Zinszahlungen gegenüber der Einmalverzinsung wie nachfolgend dargestellt geschätzt werden: ?m ?inomm, 5?inom,5?m{\displaystyle, ich bin {eff} }-i_{\mathrm {nom} } {\m-1}{2m}}}\cdot i_{{\mathrm {nom} }^{2}\ }ca 0{,}5 \cdot ich {\mathrm {nom} {nom} }.

Wenn nur der effektive Zins angegeben wird, resultiert der relativ periodische Zins, in diesem Falle von einigen Authoren auch der "konforme" Zins ikon{\mathrm {kon}. nach der folgenden Formel: irel=1+ieffm-1=ikon{\displaystyle }{\} }= {\sqrt[{ {m}]{1+i_{\mathrm {eff} }}}-1=i_{\mathrm {kon} Wenn sich die Festlegung des "konformen" Zinses oder Fußes nach der folgenden Gleichung ausschließlich auf den Jahreszins [4] bezieht, ohne ihn damit gleichzustellen, stellt sie sich als nichts anderes als der bereits erwähnte Periodenzins heraus: ikon=1+ieffm-1=1+(1+inomm)m-1m-1=inomm=irel{displaystyle i_{{\mathrm {kon}

*1+i_ {m}}}}}-1={\sqrt[{ {m}]{1+(1+{\frac {i_{\mathrm {nom} }}}{m})^{m}-1}}-1={\frac {i_{\mathrm {nom} }}{m} {m} {i_{\mathrm}}. Der exponentielle Zins zum Jahresultimo ergibt das gleiche Resultat wie die bloße Verwendung des Jahressatzes: der Jahreszins: Zur Vermeidung von Mißverständnissen sollte daher der so festgelegte "konforme" Zins genauer als der Jahreszins entsprechend dem Effektivzins (gleichen Wertes) während des Jahres benannt werden[5] - oder vielmehr das bedeutungsidentische Konzept des Relativzinses von Anfang an bevorzugt werden. ikon=1+inomm-1{displaystyle i_{{\mathrm {kon}

1+ikon )m=1+inom{displaystyle (1+i_{\mathrm {kon} })^{m}=1+i_{\mathrm {nom} }}, weshalb einige Verfasser es auch nennen - man sollte "zum nominalen Jahreszinssatz" hinzufügen - im Laufe des Jahres[7][8] oder zum periodischen Zinssatz[9][10]. Eine Hauptstadt des 1. Inom = 6 %, i_{{\mathrm {nom}} }=6 %, irel = 0,0612 = 0,005, ikon = 1,0612-1?,004868){\ {\mathrm {rel} *= {\tfrac {0{,}06} {12}} = 0{,}005, ich {\mathrm {kon} ieff=(1+0, 0612)12-1-,061678-,1678% {\\mathrm {eff} }=(1+{\frac {0{,}06}{12}{12}}}}{{}{}{?}}}{12}-1\approx 0{,}061678\a 6{,}1678\,\%}:

Es wird ein Vermögen von 10000 investiert, um es jedes Jahr auf inom=3% zu erhöhen. Zu einem Jahreszinssatz (m=1{\displaystyle m=1}) ist das Eigenkapital mit Zins nach einem Jahr: der Effektivzinssatz ist ieff=inom=3,00%{\displaystyle i_{} {eff} }=i_{\mathrm {nom} }=3{,}00\,\%}. Für eine vierteljährliche Rendite während des Jahres (m=4 {\displaystyle m=4}), das Vermögen mit Zins nach einem Jahr:

ieff-inom= (1+0,034)4-1-0,03?,03392%{\displaystyle i_{{mathrm {eff} }-i_{}mathrm {nom} }=\left(1+{{}frac {0{,}03}{4}}}\right)^{4}-1-0{,}03approx  0{,}03392\ \%}. Sie können geschätzt werden mit: ieff-?-12??,032=0,03375%{\ {\ {\mathrm {eff} }-i_{\mathrm {nom} } {\frac {4-1}{2\cdot 4}}}\cdot 0{,}03^{2}=0{,}03375\ \ \%}. Für eine monatliche Rendite während des Jahres (m=12 {\displaystyle m=12}), das Vermögen mit Zins nach einem Jahr: ieff-inom=(1+0,03)12-1-0,03ieff-inom,04160%{\displaystyle i_{} }-i_{\mathrm {nom} }=\left(1+{{}frac {0{,}03}{12}{12}}}{right)^{12}-1-0{,}03approx 0{,}04160 \\%}. Sie können geschätzt werden mit: ieff-?-12?ieff-inom,032=0,04125%{\displaystyle i_{mathrm {eff} }-i_{ \mathrm {nom} } }ca. 0 {12-1}{2\cdot 12}}\cdot 0{,}03^{2}=0{,}04125\ \ \ \%}.

Mit einem kontinuierlichen Zins während des Jahres (m=?{\displaystyle me=\infty }, s. u.), ist das verzinsliche Eigenkapital nach einem Jahr: Iff-inom = e1?,03-1-0,03-,04545%{\mathrm {eff} }-i_{\mathrm {nom} }=e^{1\cdot 0{,}03}-1-0{,}03 0{,}04545\ \. Sie können geschätzt werden mit: ieff-??,032=0,04500%{\displaystyle i_{}_mathrm {eff} }-i_{ \mathrm {nom} } {\frac {1}{2}}} 0{,}03^{2}=0{,}04500\ \%}. Ein Investment mit einem Jahreseinmalzins von z.B. 3,05 Prozent würde somit immer zu höherem Zinsergebnis führen als ein Investment mit einem Nominalzins von nur 3,00 Prozent und im Jahresverlauf so oft wie gewünscht.

Bei vielen Finanzinstituten hingegen werden die gestiegenen Zinserträge beispielsweise unterjährig mit einem Quartalszinssatz beworben, ohne die gestiegenen Zinserträge exakt zu quantifizieren. In obigem Beispiel ist leicht ersichtlich, dass der vierteljährliche Zinssatz für eine Investition von EUR 10000 während des Quartals nur einen Mindestzins zuwachs von EUR 3,39 bringt und selbst im Falle einer kontinuierlichen Verzinsung nicht mehr als EUR 4,55 betragen würde.

Auch wenn Zinseszinsen tatsächlich verwendet werden, wird das Vermögen, das nicht am Tag der Verzinsung und damit nicht über die ganze Laufzeit investiert wurde, einfach sowie die bis zu diesem Zeitpunkt im Jahr aufgelaufenen Zinserträge an einem Zahlungstag innerhalb der Laufzeit der Verzinsung mitverzinst. Folgende Abbildung zeigt eine normale Investition: Die Investition erfolgt an einem Tag des Geschäftsjahres, das Vermögen wird für mehrere Jahre gezahlt und schliesslich an einem Tag des Geschäftsjahres ausbezahlt.

Zuerst wird das Geld über den verbleibenden Zeitraum von 1 Tagen (t1{\displaystyle t_{1}}} mit einfachem Zins gezahlt. Die Verzinsung des so erhaltenen Kapitals erfolgt über n Jahre nach der Zinseszinsformel. Die Restperiode 2 (t2 {\displaystyle t_{2}}} Tage) wird dann am Ende des neunten Lebensjahres wieder auf das eingesetzte Vermögen umgelegt. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass sich für das Eigenkapital am Zahlungstag folgende Formeln ergeben:

Wenn die Zinsen während des Jahres berechnet werden, ist das Verfahren das gleiche und ändert sich je nach Referenzzeitraum (z.B. n{Anzeigeart n} in Vierteln, 90 statt 360 im Nenner). Die Höhe des Kapitals ist für die Jahre 2009-2012 festgelegt (n=4 {\displaystyle n=4}). Bei der kontinuierlichen Verzinsung handelt es sich um einen Spezialfall der Exponentialen Verzinsung unterjährig (mit Zinseszins), bei dem die Zahl der Verzinsungsperioden in Richtung Unendlichkeit geht (auch aktuelle Verzinsung oder fortlaufende Verzinsung).

Für das Endkapital nach n{\displaystyle n} Jahren gelten bei einem Zins i{\displaystyle i}: Einer der Vorzüge des konstanten Zinssatzes ist, dass man sich nicht um die Kapitalisierung der Zinsen kümmern muss, da man sozusagen zu jeder Zeit eine Kapitalisierung vornimmt. Daher ist kontinuierliches Interesse oft auch die Basis für finanzmathematische Modelle, da diese Art von Interesse besonders leicht zu managen ist.

Effektivverzinsung - Effektivzins, letzter Zugriff erfolgte am 16. Juli 2016. Josef Leydold: Mathematische Verfahren in den Wirtschaftswissenschaften. 2. 1. Kapitel: Erträge; SS 2006, letzte Zugriffe in Wien am 19. Juli 2016. SAP: Zinseszinsberechnung während des Jahres, letzte Zugriffe am 19. September 2016. Alfred Brink: Finanzwissenschaft. Zinsberechnungen; Uni Münster, S.31, letzter Zugriff erfolgte am 16. Juli 2016. ? Jürgen Tietze:

Wolfgang Blaas: Wirtschaftsmathematik - Dias der Lehrveranstaltung; Technische Universität Wien, S.12, Letzter Zugriff erfolgte am 16. Juli 2016. Formulary Financial Mathematics; FH Düsseldorf, letzter Zugriff am 16. September 2016. Jutta Gerhard: Zins-, Zinseszins- und Rentenberechnung; VHS Floridsdorf, letzter Zugriff am 16. September 2016. Effektivzinssatz - Relativer und periodengerechter Zinssatz, letzter Abruf für den Zeitraum 1. Januar bis 31. Dezember 2016. Periodengerechter Zinssatz, letzter Abruf für den Zeitraum 1. Januar bis 31. Dezember 2016. 1. Januar 2014.